“圆”神启动

2026年05月11日 830 字大概 3 分钟

如何在计算机上画圆

上一篇文章我们讲了如何用 DDA 和 Bresenham 算法画直线，其中提到 Bresenham 的中点决策思想可以推广到各种规则图形。画圆就是最经典的应用——中点画圆法。

圆的对称性：八分画圆法

画圆有一个画直线没有的优势：圆是高度对称的。圆心在原点时，如果在圆上，那么通过符号组合可以得到另外 7 个也在圆上的点：

这意味着我们只需要计算出八分之一圆弧上的像素点，其余部分通过对称映射就能得到。大大减少了计算量。

八分画圆法：利用圆的对称性，只需生成 1/8 圆弧（通常取第二八分圆，即从逐步递增直到的区域），其余部分通过坐标变换对称绘制。

中点画圆法

圆的隐式方程

圆心在原点、半径为的圆的方程为：

与 Bresenham 画直线一样，我们构造判别函数：

对于任意一点：

圆上：
圆外：
圆内：

再次充当了”指南针”的角色，告诉我们当前像素在圆的内部还是外部。

中点决策

我们从开始，沿顺时针方向画第二八分圆（递增，递减，）。

假设当前像素为，下一个必定是，而有两种候选：

E（East）： —— 不变
SE（Southeast）： —— 减 1

考察两个候选点之间的中点，判断它在圆内还是圆外：

若（在圆内）→ 圆在外侧 → E 更接近 → 选 E
若（在圆外或圆上）→ 圆在内侧 → SE 更接近 → 选 SE

这样判别式就出来了：

递推公式

情况 1：，选 E

下一个中点为：

情况 2：，选 SE

下一个中点为：

初始值

从开始，第一个中点为：

包含小数。但与直线算法一样，我们可以把判别式转化为纯整数运算——因为的每次更新都是整数增量，小数部分始终是。只需令并改为判断即可：

这样判别式的比较结果完全等价，而所有运算都是整数。

算法步骤

输入半径。初始值，，
绘制及其七个对称点
若：
否则：，
若，重复步骤 2-4；否则结束

对称点的绘制规律：对于八分圆弧上的点，同时画出和共 8 个点。当或时注意去重。

与画直线的对比

	Bresenham 画直线	中点画圆
判别函数
决策方向	E / NE	E / SE
初始
递推
递推
对称性	无（直线不够对称）	八分对称，只算 1/8
循环条件

可以看到，中点画圆法完全是 Bresenham 思想的延续——构造判别函数、中点决策、增量递推、整数化。区别在于圆的对称性让工作量降到原来的八分之一。