全局光照与路径追踪

2026年06月27日 2.8k 字大概 11 分钟

前面我们介绍了辐射度量学的相关知识，并推导出了渲染方程：

用算子形式可以展开为：

如果我们能够同时计算出直接光照与所有间接光照，就得到了全局光照。用一个简单的公式概括：

$全局光照直接光照间接光照$

然而，渲染方程中包含了对整个半球空间的连续积分，计算机无法直接求解。接下来，我们将介绍蒙特卡洛积分和路径追踪，用数值方法来实现具有物理真实感的全局光照渲染。

概率密度函数（PDF）

在介绍蒙特卡洛积分之前，我们需要补充一点概率论的基础知识。

对于一个连续型随机变量，由于其取值有无限不可数个，它取任意单点值的概率皆为：

为了量化连续变量的概率分布，我们定义累积分布函数（CDF, Cumulative Distribution Function）为：

概率密度函数（PDF, Probability Density Function），则是 CDF 的一阶导数：

根据微积分基本定理，随机变量落在区间内的概率，由在该区间上的定积分给出：

PDF 满足两大数学公理性质：

非负性：
规范性（全概率为）：

蒙特卡洛积分

对于渲染方程，我们需要对无数个入射方向进行积分——但这对计算机来说是不可能的。我们有什么办法能将连续的积分转换成离散的求和？

积分的几何意义是函数图像下的面积。受此启发：如果我们随机对函数进行采样，计算每个采样点附近微小区域的面积并求和，随着采样点越来越多，结果会越来越接近真实积分值：

其中是函数值（高度），是微小的宽度，是采样数目。

这种利用随机采样来估计积分的方法，就是蒙特卡洛积分（Monte Carlo Integration）。

均匀随机采样

如果我们使用均匀随机采样，每个采样点在区间中被选中的概率相等。此时，每个采样点代表的宽度为，于是：

均匀采样的缺点是效率低下——无论函数值在何处变化剧烈，采样密度都相同。

重要性采样

想象这样一个函数图像：大部分点对应的函数值都为，只有极少数点对应的函数值不为。如果我们均匀随机采样，大量采样结果都是，只有极少数采到了真正重要的位置。

这会导致：有时候采到了重要位置，结果很大；有时候没采到重要位置，结果很小。我们将这种大幅波动称为噪声。

为了减少噪声，我们改变采样策略——对重要区域多采样，其他区域少采样。这就是重要性采样（Importance Sampling）。

但非均匀采样会引入偏差——重要区域被过度采样，则计算结果会偏大。为了修正这种偏差，我们引入概率密度函数 PDF。

通过 PDF，我们知道每个采样点被选中的概率。对于每一次采样，我们将其贡献除以其对应的采样概率并求平均，便可修正偏差：

重要区域采样多，采样概率高，除以采样概率后贡献被压低。
非重要区域采样少，采样概率低，除以采样概率后贡献被放大。

于是，我们得到了通用的蒙特卡洛积分公式：

其中： - 是从概率密度函数中采样得到的随机变量。 - 是被采样到的概率密度。 - 是采样次数。越大，估计值越接近真实积分值，误差按收敛。

蒙特卡洛积分公式的推导与正确性证明

蒙特卡洛估计量的正确性可以通过无偏性来证明。我们计算它的数学期望：

由于每个独立同分布，考虑单个样本的期望：

因此：

的数学期望恰好等于真实积分值，所以蒙特卡洛估计是无偏的。这正是蒙特卡洛积分得以广泛应用的数学根基。

路径追踪

我们已经掌握了如何用蒙特卡洛积分来估计一个积分。对于任意积分，都可以写成离散求和的形式：

回到渲染方程：

将其积分部分与蒙特卡洛积分公式建立对应关系：

蒙特卡洛积分	渲染方程
	入射方向

	方向采样的 PDF

代入蒙特卡洛公式，得到：

现在我们终于可以计算出一个着色点反射到摄像机的光线了。

而且，这个过程可以递归进行——因为点的入射光线，恰恰就是点的反射光线。这意味着我们可以递归地追踪整条光路。

光线爆炸问题

然而，这里有一个严重的问题：为了计算点的颜色，我需要向半球面随机射出条光线去采样点（图形学中约定所有光线方向都由着色点向外指）。而每一个点，为了计算它自身的颜色，又需要射出条光线……

这会导致指数爆炸——第次弹射将产生条光线，计算量无法承受。

解决方案简单而激进：令。每次在着色点的半球面上只随机射出一条光线。

这样一条线走到底，就形成了一条路径（Path）——这就是”路径追踪”名字的来源。

但带来了三个新问题：

画面噪点严重——单条路径的估计方差太大。
无线递归——没有终止条件，光线会无限弹射。
效率低下——光线盲目乱射，很难碰到小光源。

下面，我们依次解决这三个问题。

画面噪点问题

解决噪点的方法不是在同一个”着色点”上做多次采样，而是向同一个像素内射入多条路径（如 256、1024 条），每条路径各自独立地在场景中弹射。最后将该像素所有路径的颜色取平均值，噪点就被抹平了。

这个技术称为 SPP（Samples Per Pixel，每像素采样数）。

如上图所示，高 SPP（右）相比低 SPP（左），画面明显更加平滑清晰，噪点显著减少。

无限递归问题

光线在场景里弹跳，如果不加限制，它会无限弹跳下去。但如果硬性规定”弹跳 5 次就停”，能量会被截断，画面变暗——这是有偏的。

我们采用俄罗斯轮盘赌（Russian Roulette, RR）来解决。

每次光线打到表面后，我们以概率决定继续弹跳，并以概率直接终止。关键在于：如果继续弹跳，返回的结果要除以，以补偿那些被终止的光线。

这样得到的期望值是准确的：

俄罗斯轮盘赌保证了结果在数学期望上是无偏的，同时使递归深度自然趋近于有限——经过次弹跳后继续的概率为，很快就趋近于。

盲目乱射问题

如果场景里有一个很小的灯泡，按照我们目前的算法——在着色点半球面上随机选一个方向（）——大概率是碰不到这个灯泡的。这就导致射了 1000 条路径，可能 990 条都是黑的，画面噪点极大。

我们将光线的计算分为两部分来解决这个问题：

直接光（Direct Light）：直接在光源表面上随机挑一个点，从点连一条线过去。这部分直接处理光源贡献。
间接光（Indirect Light）：在半球面上随机射一条光线（沿用之前的 RR 逻辑）。这部分递归处理。

变量替换：从立体角到光源面积

对于直接光的计算，我们不再在半球立体角上盲目采样，而是直接在光源的表面积上进行均匀采样。这种方法叫作光源采样（Light Sampling）。

但问题在于：原始渲染方程是对立体角积分的，而我们现在希望对光源表面积积分。数学上，你不能拿着一个在域上采样的样本，直接代入一个对域积分的公式里。我们必须进行积分变量换元。

如图，我们在光源表面上选取面积微元，从着色点看过去：

遮挡检测：首先判断与之间是否存在遮挡，如果被遮挡则不计算该光源样本。
倾斜修正：光源表面不一定垂直于的连线。设光源法线为，连线方向为（从指向），光线的反方向为，两者夹角记为。我们需要把投影到垂直于光线的方向上：
距离衰减：根据立体角的物理定义（立体角 = 面积 / 距离的平方）：

于是得到了立体角微元与面积微元的转换公式。将它代入原始渲染方程，直接光部分的积分从对半球变为对光源表面积：

光源采样的蒙特卡洛估计

我们在光源表面均匀抽样一个点，其概率密度为（为光源总面积）。代入蒙特卡洛公式：

令，得到单样本的直接光采样公式：

至此，我们完整解决了路径追踪的三个核心问题，实现了物理上完全正确的全局光照。

如上图所示，路径追踪渲染出的 Cornell Box（右）与真实照片（左）几乎无法分辨——这正是渲染方程的威力所在。

总结

回顾全文，我们从渲染方程出发，逐步构建了全局光照的数值求解框架：

概率密度函数(PDF) 提供了描述随机变量分布的工具，是蒙特卡洛积分的数学基础。
蒙特卡洛积分将连续积分转化为离散求和——通过对被积函数进行随机采样，并用 PDF 修正非均匀采样的偏差，能够在任意维度上给出无偏估计。
路径追踪将蒙特卡洛积分应用于渲染方程——每次弹射只射出一条光线形成路径，通过每像素多条路径（高 SPP）压制噪点，通过俄罗斯轮盘赌终止递归，通过光源采样高效计算直接光照。
全局光照不再是遥不可及的目标——借助路径追踪，直接光照与间接光照被统一在同一个蒙特卡洛框架下求解，最终产出了与真实照片难以区分的渲染结果。

这次的插图来自画师 夏套

图片地址：https://www.pixiv.net/artworks/145990124