几何的基本表示方法
这一篇我们进入图形学中几何的讲解。
通常，几何的表示方法被严格划分为两大阵营：隐式几何表示（Implicit Representations）和显式几何表示（Explicit Representations）。
下面我们分别介绍一下这两种表示方法。
隐式几何表示
隐式表示并不直接告诉你表面上有哪些点，而是给出一个满足特定关系的数学公式或规则。对于空间中任意一点
代表方式有：代数曲面 (Algebraic Surfaces)、构造实体几何 (Constructive Solid Geometry, CSG)、符号距离场 (Signed Distance Fields, SDF) 等。
代数曲面
代数曲面使用纯数学方程直接定义几何形状。这种方法非常精确，但只能表示相对简单的规则形状。
如图，代数曲面可以精确地表示很多形状，但是对于复杂图形，表示函数会极其复杂。
构造实体几何
这种方法通过对基本的隐式几何体（如球体、立方体、圆柱体）进行布尔运算（交集、并集、差集）来构建复杂的形状。这种方法在工业 CAD 设计软件中非常常见。
如图，我们可以利用布尔运算，得到复杂形状。
符号距离场
这种方法不记录表面本身，而是记录空间中每个点到离它最近的表面的距离。如果距离为正，表示点在物体外部；如果为负，表示点在内部；为零则表示在表面上。SDF 在现代高级渲染（如光线步进、流体模拟以及 Unreal Engine 5 的 Lumen 技术）中应用极为广泛。
隐式表示的特点
- 优势：非常容易判断一个点是在物体内部还是外部；布尔运算极其简单；理论上具有无限的分辨率，镜头拉得再近也不会产生锯齿。
- 劣势：很难直观地知道表面具体长什么样；极难在表面上均匀采样；难以直接对特别复杂、无规则的现实形状（如人脸、衣服褶皱）进行建模。
显式几何表示
显式表示是直接或参数化地给出构成几何体表面的所有点或面片。这也是目前游戏和实时渲染中最主流的方式。你可以把它们想象成由很多微小的零件拼凑起来的壳。
代表方法有：点云 (Point Cloud)、多边形网格 (Polygon Mesh)、参数曲线与曲面 (Parametric Curves and Surfaces)。
点云
这种方法是最简单的显式表示。它就是包含大量 3D 坐标
如图，只要点足够多，就可以显示出精细的模型。
多边形网格
这种方法是图形学绝对的”统治者”，尤其是三角形网格（Triangle Mesh）。它由顶点 (Vertices)、边 (Edges) 和面 (Faces) 组成。因为三角形是最简单的多边形，且三个点必定共面，现代 GPU 都是专门为了极快地处理三角形而设计的。市面上 99% 的 3D 游戏模型都是基于网格的。
如图，我们可以通过许多的三角形面片拼出完整的形状。
这种方法还有许多网格处理方法，我们之后再介绍。
参数曲线与曲面
这种方法是通过一系列控制点 (Control points) 和参数方程
如图，这是贝塞尔曲线和曲面，属于参数方法，也是我们后面要重点介绍的。
显式表示的特点
- 优势：极其方便进行光栅化渲染（绘制到屏幕上）；很容易在表面上采样、绑定骨骼和贴图（UV 映射）；能极其细致地刻画任意复杂的形状。
- 劣势：很难判断一个给定的点是在物体内部还是外部（需要复杂的射线检测算法）；布尔运算非常复杂且容易产生几何错误（如破面）。
总结
简单来说，隐式几何像是在“制定规则”（符合这个方程的才是我的表面），适合做物理碰撞检测、布尔运算和光线追踪；而显式几何像是在“直接画图”（把这些点连成一个个三角形），极度适合现代 GPU 进行高效的实时渲染。
这次的插图来自画师 mmAir
图片地址：https://www.pixiv.net/artworks/124883229