三维物体的空间变换

三维物体的空间变换

我们之前讲过二维图形的几何变换，为了将所有变换统一形式，我们引入了齐次坐标的概念。

通过齐次坐标，线性和非线性操作我们都可以整合在一个变换矩阵内，这不仅对二维图形有效，对三维物体也如此。

齐次变换矩阵

三维变换和二维变换的齐次变换矩阵相似性很高，我们在这里只做介绍，不做推导。

平移变换矩阵

这部分和二维变换是完全一样的，只不过多了一个维度

比例变换矩阵

当 时为均匀缩放，物体形状保持不变；否则为非均匀缩放，物体会沿不同方向拉伸或压缩。

反射变换矩阵

反射变换将物体关于某个坐标平面做镜像，本质上是把垂直于该平面的坐标分量取反。

关于 平面对称（即 坐标取反）：

关于 平面对称（即 坐标取反）：

关于 平面对称（即 坐标取反）：

关于原点对称（三个分量同时取反）：

错切变换矩阵

错切变换让物体的某个坐标分量随另一个坐标分量发生线性偏移，物体被“斜拉”但体积不变。

沿 轴方向错切（ 影响 的偏移量）：

沿 轴方向错切（ 影响 的偏移量）：

沿 轴方向错切（ 影响 的偏移量）：

旋转变换矩阵

三维旋转变换其实也可以看做二维旋转，比如绕x轴旋转，就可以看作在y-z平面上旋转，忽略x相关的值。

这样，我们可以根据二维旋转的变换矩阵写出三维旋转的变换矩阵。

绕x轴旋转：

绕y轴旋转：

绕z轴旋转：

但是我们发现，绕y轴旋转的矩阵格式和其他的不一样，下面我解释一下原因：

在三维空间中，标准的右手系满足一个循环顺序：

对于绕 轴，我们在 平面旋转，旋转从 轴向 轴移动（正向）。 对于绕 轴，我们在 平面旋转，旋转从 轴向 轴移动（正向）。 但是对于绕 轴，为了保持右手系的右手定则（大拇指指向 轴正方向），正向旋转其实是从 轴向 轴 移动。

如果你在写 轴旋转矩阵时，依然强行按照 的顺序（即先写 列，再写 列）去套用二维旋转公式，那么你看到的正向旋转实际上就变成了“逆时针的反向”。为了修正这个方向， 的正负号自然就颠倒了。

对于绕坐标轴旋转，我们已经有了具体公式，但是如果是绕空间中任意轴旋转，如何写旋转矩阵呢？

方法1：普通旋转公式的叠加

我们可以将旋转轴平移到原点，再旋转到与某个坐标轴重合，然后执行旋转操作，最后逆变换回去。将这几步的变换矩阵乘起来就得到了完整的旋转矩阵。

方法2：罗德里格斯公式（Rodrigues’ Rotation Formula）

它可以直接给出绕任意过原点轴旋转的矩阵，无需拆解为多步复合变换。下面我们详细推导。

罗德里格斯公式的推导

问题：给定一根过原点、方向为单位向量 的旋转轴，将任意向量 绕 逆时针旋转角度 ，求旋转后的向量 。

核心思路：将 分解为平行于 的分量 和垂直于 的分量 。绕 旋转时， 不变，只有 在垂直于 的平面上旋转 。

第一步：分解

平行分量就是 在 上的投影：

垂直分量：

第二步：在垂直平面内建立正交基

已经在垂直于 的平面内。我们还需要另一个同样垂直于 、且与 正交的向量，作为旋转平面的“第二根坐标轴”。

用叉积构造：

由于 ，可以简化：

和 等长且正交，构成垂直平面内的一组基。

第三步：在垂直平面内做二维旋转

在 和 张成的平面上，将 旋转 ：

第四步：组合结果

旋转后的向量 = 不变的平行分量 + 在垂直平面内旋转后的垂直分量：

代入 、 和 ：

这就是罗德里格斯旋转公式的向量形式：

矩阵形式

将叉积 写为斜对称矩阵乘法。定义：

则有 。同样地，。

代入罗德里格斯公式：

(注：第一项的 前面我们加了一个单位矩阵 )

因此旋转矩阵为：

展开成完整的 齐次矩阵：

验证：退化到绕 轴

令 ，代入：

正是 ，说明公式正确。

具体例子

例：将向量 绕轴 旋转 ，求旋转后的向量。

是 轴和 轴的角平分线方向。直观上， 绕这根斜轴旋转 应该会偏离 轴，转向 和 之间的某个方向。

已知 ，，。

逐项计算：

代入公式：

验证长度：，与 一致，旋转保持长度不变。

总结

三维空间中的所有基本变换都可以用 齐次矩阵统一表达。对于绕任意轴的旋转，既可以用“平移到原点 → 对齐坐标轴 → 旋转 → 逆变换”的复合方式（方法1），也可以直接用罗德里格斯公式一步到位（方法2）。两种方法等价，选择哪种取决于应用场景的便利性。

这次的插图来自画师 ばなこ武丸

图片地址：https://www.pixiv.net/artworks/144860848