三维空间的观察和投影变换

2026年05月25日 4.2k 字大概 16 分钟

前面我们讲了三维空间中物体模型如何通过齐次坐标矩阵进行变换，但模型最终需要呈现在屏幕上——这相当于用一台摄像机拍摄三维空间，输出为二维图像。因此，除了模型变换之外，我们还需要观察变换和投影变换，它们共同构成了三维图形渲染管线中的核心环节。

整体来看，三维空间中的一个点要最终显示在屏幕上，需要经历以下变换流程：

$屏幕视口投影观察模型局部$

其中模型变换已在上一篇文章中详细讨论，本文重点介绍观察变换和投影变换。

观察变换

观察变换的本质是建立一个观察坐标系（View Coordinate System），将场景中所有物体从世界坐标系变换到以摄像机为原点的坐标系中。

观察坐标系的建立

观察坐标系由三个互相垂直的轴定义，通常约定为：

观察方向：摄像机看向方向（OpenGL 惯例）
上方向：摄像机的方向
右方向：由观察方向和上方向叉积得到的方向

给定三个参数即可唯一确定一个观察坐标系：

参数	含义
	摄像机在世界空间中的位置
	摄像机看向的目标点
	世界空间的上方向（通常为）

由此可以计算出观察坐标系的三个基向量：

1. 前向向量 （摄像机看向的方向）：

2. 右向向量 （由和叉积得到）：

3. 上向向量 （重新正交化，确保三个轴两两垂直）：

注意这里是重新计算得到的，而不是直接使用输入的 ——因为用户提供的不一定与精确垂直，通过两次叉积可以保证正交性。

Look-At 矩阵的推导

观察矩阵（也称为 Look-At 矩阵）将世界坐标变换为观察坐标。它由两个步骤复合而成：

平移：将摄像机位置移到原点
旋转：将世界坐标轴对齐到观察坐标轴

写成矩阵形式：

其中平移矩阵很简单：

旋转矩阵完成基变换：将世界坐标系的点用观察坐标系的基向量重新表示。由于观察坐标系的方向对应的是（摄像机看向），基变换矩阵为：

将旋转和平移合并，得到完整的 Look-At 矩阵：

直观理解：平移部分的负号来源于的矩阵乘法。以分量为例，。

观察变换与模型变换的关系

一个重要的洞察是：对摄像机做变换，等价于对场景中所有物体做该变换的逆变换。

例如，想让摄像机绕轴顺时针旋转来从侧面观察场景，实际做法是对所有物体施加绕轴逆时针旋转的变换矩阵。这正是因为：

其中是将摄像机从原点变换到目标位置和朝向的矩阵（相当于摄像机的模型矩阵）。理解这一对偶关系有助于把握观察变换的本质。

投影变换

投影变换将三维物体投射到二维投影面上。根据投影中心到投影面的距离，投影变换可分为两大类：平面几何投影和观察投影。

平面几何投影主要研究投影本身的几何性质（如平行投影、透视投影及其衍生图形）；观察投影则是在图形学渲染管线中实际使用的投影方式，它不仅要完成投影，还要将结果映射到标准化的设备坐标中。

平面几何投影

平面几何投影根据投影线是否平行，分为平行投影和透视投影两大类。

如图所示，透视投影的投影中心可以理解成摄像机，投影面可以理解成成像平面，线段是被投影的物体。当投影中心与物体之间的距离较近时（有限距离），投影线不平行，产生近大远小的透视效果；当距离趋向无穷远时（无限距离），投影线可以看作平行的，此时物体的大小不受距离影响。

直观地想象：几个物体离你很近时，它们与你的距离会显著影响它们在你眼中的大小；但如果这些物体离你非常远，尽管它们之间的距离差异仍然存在，但在你眼中它们都很小，大小几乎一致。

平行投影

平行投影根据投影方向与投影面的夹角关系，分为正投影和斜投影：

正投影

正投影的投影方向垂直于投影面。根据投影面与坐标轴的关系，又分为三视图和正轴测图：

三视图：投影面与某一坐标轴垂直时得到的投影
正轴测图：投影面不与任何坐标轴垂直时得到的投影

三视图包括主视图、侧视图和俯视图，投影面分别与轴、轴和轴垂直：

正轴测图根据投影面与三个坐标轴夹角的相等关系，分为三种：

等轴测图：投影面与三个坐标轴的夹角均相等
正二测图：投影面与两个坐标轴的夹角相等
正三测图：投影面与三个坐标轴的夹角均不相等

斜投影

斜投影的投影方向与投影面不垂直。根据投影方向与投影面的夹角关系，分为斜等测图和斜二测图：

斜等测图：投影方向与投影面成角，投影后深度方向不缩短
斜二测图：投影方向与投影面成角，投影后深度方向缩短为原来的一半

透视投影

透视投影具有透视缩小效应：三维形体投影的大小与形体到投影中心的距离成反比。这种视觉效果与人眼和照相系统的工作原理一致——等长的两直线段，离投影中心近的那段投影更大，离得远的那段投影更小。

透视投影的深度感更强，更具真实感，但不能精确反映物体的尺寸和形状。

灭点（Vanishing Point） 是透视投影中的一个重要概念：不平行于投影面的平行线在透视投影下会汇聚到一个点，这个点称为灭点。沿坐标轴方向的平行线形成的灭点称为主灭点。

根据主灭点的数量，透视投影分为三类：

类型	主灭点数	投影面与坐标轴的关系
一点透视	1	投影面与一个坐标轴正交，与另外两个平行
两点透视	2	投影面与两个坐标轴相交，与另一个平行
三点透视	3	投影面与三个坐标轴都相交

观察投影

观察投影是图形学渲染管线中实际使用的投影方式。与平面几何投影不同，观察投影不仅完成三维到二维的映射，还将结果变换到标准化设备坐标（NDC, Normalized Device Coordinates）中，为后续的视口变换做准备。

观察投影分为透视投影和正交投影两种。两者之间存在深刻的联系：透视投影可以先看作一个将视锥体”压扁”为长方体的变换，再用正交投影将该长方体映射到 NDC。

为了让推导逻辑更加顺滑，我们采用由易到难的解构策略：先推导纯线性的正交投影作为基石，再利用“挤压+正交”的顺序进行透视投的推导。

一、正交投影

正交投影不会产生透视变形，平行线在投影后仍然平行。它的投影范围是一个轴对齐的长方体（View Volume），我们的目标是直接将这个长方体线性映射到 NDC 立方体中。

1. 视景体的参数化

正交投影的视景体由六个平面直接定义：

参数	含义
	视景体在方向的左、右边界
	视景体在方向的下、上边界
	近平面和远平面的距离（均为正值，观察空间中和）

2. 核心工具：一元线性映射通式

将任意区间线性映射到的通用公式为：

推导思路：先将点减去原区间中点（将中心平移至原点），再乘以两区间长度的缩放因子，通分化简即可得到上式。

3. 分方向映射推导

分别对坐标应用此通式：

分量——将映射到：
分量——将映射到：
分量——在观察空间中，相机看向方向，近平面为，远平面为。根据定义，我们需要将近端映射到，远端映射到。由此明确对应关系：映射到，映射到。直接代入通式：

4. 构造正交投影矩阵

由于正交投影是纯线性映射，没有透视效果（，无需透视除法），这些线性关系可以直接填入齐次矩阵中：

5. 对称视景体

实际使用中最常见的是对称视景体（），此时位移项消失，矩阵可以极大地简化为：

二、透视投影

透视投影模拟人眼和相机的成像方式，产生近大远小的效果。它的投影范围是一个视锥体（Frustum）——一个截去顶端的四棱锥：

1. 视锥体的参数化

视锥体由以下参数定义：

参数	符号	含义
近平面距离		视锥体近平面的距离（正值，观察空间中）
远平面距离		视锥体远平面的距离（正值，观察空间中）
垂直视场角		视锥体在方向的张开角度（FOV）
宽高比		视锥体近平面宽与高的比值，

在近平面处，根据三角函数几何关系，半高和半宽为：

2. 透视投影矩阵推导策略

直接一步到位推导透视矩阵非常困难。我们采用将变换解耦的策略：

第一步（挤压）：构建，负责把向远处发散的视锥体“压”成一个轴对齐的长方体。

第二步（正交）：直接复用上文推导出的标准正交投影矩阵将长方体规整到 NDC 空间。

步骤一：相似三角形投影与设置齐次坐标w分量

这一步效果如下图：

为了将棱锥体挤压成长方体，我们需要确定挤压前后的x和y坐标的映射。

对于观察空间中的任意点，将其投影到近平面上。由相似三角形性质：

(由于相机看向方向，坐标是负值，因此加上负号转换为正的距离值)

通过三角形相似，我们可以求解投影的x,y坐标在挤压后的新坐标。

因为矩阵乘法只能表达线性的加权组合，无法直接在矩阵内部实现“除以 ”这种非线性除法。然而，图形学硬件管线在顶点着色器执行完毕后，会自动执行透视除法（即坐标全体除以齐次分量）。

利用这个硬件特性，我们反其道而行之：在矩阵乘法阶段先不执行除法，而是利用矩阵把强行存进结果的分量中！

即我们期望变换后的剪裁坐标为： $暂未知$

根据矩阵乘法规则，能够完美碰撞出该结果的“挤压矩阵”必定具备如下结构（第三行先用占位符替代）：

步骤二：利用边缘条件求解

任何点经过该矩阵相乘后，其轴对应的剪裁坐标为。当硬件随后自动执行透视除法（除以）后，最终得到的 NDC 深度公式为：

为了唯一确定未知数和，我们需要带入两个压倒性的几何边缘条件： 1. 近平面上的点，挤压后相对深度保持不变：即当时，其。 2. 远平面上的点，挤压后相对深度保持不变：即当时，其。

现在得到了一个经典的二元一次方程组：

下式减去上式以消去：

将代回任意一式，求得：

至此，负责把视锥体完美“挤压”成长方体的矩阵被彻底解出：

步骤三：矩阵合成（正交矩阵 ✖ 挤压矩阵）

当视锥体不再是对称的（即或），我们在第二步必须使用最一般形式的正交投影矩阵。

因为挤压矩阵已经把轴完美映射到了，所以此时用来复合的正交矩阵只需要处理轴和轴的缩放与平移，保持轴不变。我们写出一般正交矩阵：

现在，我们将与挤压矩阵相乘：

矩阵乘法的细节（为什么平移项跑到了第三列？）

当我们计算第一行乘以第三列时，奇妙的事情发生了：同理，第二行乘以第三列时，与挤压矩阵第四行的相乘，负负得正。

最终，我们得到了图形学中最通用的、完全闭环的一般透视投影矩阵：

三、矩阵结构剖析和性质

我们可以将透视矩阵拆解为三大职责功能区：

红区（第一、二行）：负责方向的视场角伸缩与横纵比适配。
蓝区（第三行）：负责把轴非线性映射到。其系数完全由近远平面的硬性边界条件（解方程组）所决定。
绿区（第四行）：核心功臣，负责把塞给，用来强行启动硬件的齐次透视除法。

透视投影的关键性质

非线性深度映射：由于深度坐标与成非线性正比关系。这意味着近处的深度精度极高，而远处的深度精度会剧烈稀释，这是深度缓冲（Z-buffer）在远处容易产生精度冲突（Z-fighting）的根本原因。
直线保持性：透视变换能够完美保证空间中的直线在投影后依然是直线（但不再保持平行的性质）。

四、透视投影与正交投影的对比

特性	透视投影	正交投影
视觉效果	近大远小，符合人眼真实感	无透视变形，物体大小与远近无关
平行线	不平行于投影面的线将汇聚于灭点	所有平行线在投影后依然保持平行
分量	（必须依赖硬件透视除法）	（纯线性映射，无需除法）
深度映射	非线性（精度倾向于近平面）	完美的完全线性映射
典型应用	3D 游戏、VR 渲染、场景可视化	CAD 建模、阴影贴图（Shadow Map）、UI 渲染

本质关联总结：透视投影与正交投影并非孤立。透视投影的本质可以完美等价为：“先用齐次矩阵将视锥体向内挤压成长方体” + “再用标准正交投影矩阵进行视景体归一化”。两者是图形学管线在同一变换框架下的不同参数选择。

总结

本文介绍了三维图形渲染管线中的两个核心环节：观察变换和投影变换。

观察变换通过 Look-At 矩阵将场景从世界空间变换到观察空间，核心是基变换与平移的复合。
投影变换包含透视投影和正交投影两种，分别对应不同的视觉效果和应用场景。透视投影通过齐次坐标的分量实现透视除法，是图形学中最为精妙的设计之一。

至此，结合上一篇文章中的模型变换，三维空间中从物体局部坐标到屏幕坐标的完整变换链MVP变换(M模型、V观察、P投影)已经全部介绍完毕。

这次的插图来自画师 istomin_denis

图片地址：https://www.pixiv.net/artworks/144774058